Avertisment: Autorul textului care urmează nu-şi poate da seama singur ce este nou sau măcar valabil în dezvoltarea punctului său de vedere asupra raportului dintre cerc si pătrat, lăsând specialiştilor această corvoadă de rutină. Dar cutează să emită ipoteza, sigur nouă şi neaşteptată, aparent absurdă, că în geometrie numerele pot (vreodată) căpăta referenţialitate, devenind polisemantice. Această polisemie a numerelor – o ipoteză şocantă pentru orice matematician, ar face ca regulile aritmetice, aplicate asupra formulelor geometrice, să denatureze percepţia şi înţelegerea corectă, firească, a formulelor respective. Aşa o fi?
Dincolo de valoarea observaţiilor şi comentariilor făcute în continuare, rostul acestui eseu atât de riscant şi atât de nepotrivit a fi publicat în vecinătatea celorlalte studii, de lingvistică, este să dovedească sinceritatea criticii făcute de autor metodei ştiinţifice, practic sinonimă această metodă cu matematizarea, cu algebrizarea lingvisticii. Dacă considerăm că formalizarea lingvisticii a fost o cale păguboasă pentru cunoaşterea fenomenului lingvistic în intimitatea şi organicitatea sa, această convingere nu este fructul sterp al neputinţei de a apela la instrumentarul matematic. Desigur, matematizarea lingvisticii, însăşi lingvistica matematică ca disciplină, este posibilă, dar această operaţiune şi deopotrivă viziune va avea drept rezultat rafinarea matematicii ca instrument, ca tehnică descriptivă, neavând nicio tangenţă cu cunoaşterea mai profundă şi specifică a graiului omenesc. Lingvistica matematică este o disciplină a matematicii, interesantă şi ingenioasă, nefiind însă nicicum purtătoare a vreuni adevăr în domeniul teoriei limbii.
Mai menţionez că acest studiu, cu oarecari neglijenţe de redactare, a fost publicat în revista de matematică „Arhimede”, nr.5-8, mai-august 2005. Îl republicăm cu corecturile necesare şi câteva adaosuri.

Formula după care se calculează suprafaţa cercului pune în joc două elemente, două mărimi: raza R a cercului şi celebrul număr π. Prin ridicarea la pătrat, raza cercului devine R² şi dă astfel contur unui pătrat, conform figurii 1.

Fig.1

Legătura dintre pătratul razei şi suprafaţa cercului nu este uşor de înţeles, îndeosebi la nivelul intuitiv. Numărul π ar denota de câte pătrate R² este nevoie pentru a acoperi suprafaţa cercului. Dacă încercăm să reprezentăm grafic produsul π R², să-l reprezentăm pe π de fapt, rezultă desenul din figura 2:

Fig.2

Suprafaţa haşurată l-ar reprezenta pe 3,14, iar 1 ar fi pătratul având ca latură raza cercului. Aceasta ar fi o definiţie „grafică” a lui π, care însă, aşa cum se vede, nu spune mare lucru la nivelul intuitiv al cunoaşterii noastre. Ceea ce, fireşte, în matematică nu este un defect propriu-zis. Considerăm însă că ar fi cel puţin la fel de îndreptăţit ca, în încercarea de a măsura prin pătrat cercul, să pornim de la alt pătrat, nu de la pătratul Razei, ci de la pătratul a cărui latură este egală cu diametrul cercului de măsurat, cu diametrul cercului înscris în acest pătrat. (Vezi figura 3.) Acest pătrat este de preferat deoarece reprezintă întregul din care cercul este numai o parte.
Fig.3

Precum se vede, pătratul este mai mare ca suprafaţă decât cercul care se înscrie în interiorul său. Dacă notăm acest pătrat cu 1 şi facem din el reperul de bază, rezultă întrebarea: cât din suprafaţa pătratului este acoperit de suprafaţa cercului? Evident, D² = 4 R², aşadar π împărţit la 4 ne dă numărul care reprezintă raportul dintre pătrat şi cercul înscris în pătrat: 0,785. Vom numi K acest număr, iar formula suprafeţei cercului, rescrisă, devine KD² = 0,785 D². Aşadar, cercul reprezintă 0,785 din suprafaţa pătratului care îl circumscrie.
Credem că nu este lipsită de interes această formulă, adică numărul K, acest 0,785 pe care l-am dedus din π. În felul acesta formula de calcul a suprafeţei cercului este mai uşor de înţeles şi de „povestit” mai departe: „suprafaţa cercului reprezintă ceva mai mult de trei sferturi din suprafaţa pătratului circumscris”. (Acest „ceva mai mult” înseamnă aproximativ 3 sutimi din suprafaţa pătratului: 0,785 – 0,750 = 0,035.) Punerea în relaţie a cercului cu pătratul a cărui latură este egală cu diametrul acelui cerc este în mod vizibil mai firească şi este propriu-zis pe placul intuiţiei noastre.
Deci, ce reprezinză acest K? Numim Pi, numărul 3,14 care ne arată de câte ori diametrul unui cerc intră în circumferinţa cercului. Vom numi Q numărul 4, care ne arată de câte ori „diametrul” pătratului intră în „circumferinţa” pătratului. Diametrul pătratului este egal cu diametrul cercului pereche. Diferă „circumferinţa” pătratului de circumferinţa cercului. Între cele două mărimi, adică între 3,14 şi 4, raportul este de 0,785, adică circumferinţa cercului reprezintă 0,785 din „circumferinţa” pătratului. Abia prin raportare la 4 numărul Pi este valorizat corect, el ne duce la numărul 0,785, şi devine astfel numărul Q, o valoare rezultată din raportarea obligatorie a lui Pi la singura posibilitate pe care o avem pentru a măsura suprafaţa şi volumul: împărţirea acestora în pătrate, respectiv cuburi. Or, atât pătratul, cât şi cubul, sunt figuri geometrice bazate pe numărul 4. Numai că acest patru nu semnifică – aşa cum ar părea la prima vedere, numărul laturilor pătratului, ci semnifică de câte ori „diametrul” pătratului intră în „circumferinţa” pătratului, în perimetrul pătratului. Acesta este sensul pe care trebuie să i-l dăm lui Q, lui 4, atunci când îl raportăm la Pi. Diametrul pătratului intră de 4 ori în circumferinţa pătratului, iar diametrul cercului intră de 3,14 ori în circumferinţa cercului.
Numesc diametru al pătratului linia cea mai scurtă care uneşte două laturi paralele ale pătratului, iar diametrul cercului este linia cea mai lungă care poate uni două puncte de pe circumferinţa cercului. Poate că în definiţia diametrului ar trebui să introducem şi faptul că diametrul împarte cercul în două părţi egale, ceea ce ar impune o redefinire în acelaşi sens şi a „diametrului” pătratului: linia cea mai scurtă care uneşte două laturi paralele (opuse) ale pătratului şi împarte pătratul în două părţi egale. (Nota bene: linia cea mai lungă care uneşte două laturi paralele ale pătratului are deja un nume: diagonala…) Potrivit noii definiţii un pătrat nu poate avea decât două „diametre”. (Evident, ne-ar trebui un termen pereche pentru diagonală, respectiv diametru, care să însemne „diametrul pătratului”. Până atunci vom folosi mai departe sintagma diametrul pătratului.)
Între cele două mărimi, diagonala pătratului şi diametrul pătratului există un raport care trebuie stabilit, este o constantă care are un rol al ei în discuţia pe marginea „cvadraturii cercului”. La nivel strict intuitiv privind lucrurile – şi cu oarecare uşurătate, am putea spune că cercul este un pătrat a cărui diagonală este egală cu diametrul…
Un motiv în plus pentru a introduce şi diagonala pătratului în discuţia noastră este acela că raportarea cercului la pătrat se poate face în două feluri, prin două pătrate: (1) pătratul a(l) cărui latură (diametru) este egal cu diametrul cercului de măsurat, sau (2) pătratul a cărui diagonală este egală cu diametrul cercului ded măsurat.
Numesc înscris cercul (sau pătratul) cel mai mare a cărui suprafaţă încape integral într-un pătrat (sau cerc), care devine astfel pătratul (sau cercul) circumscris acelui cerc (pătrat). Diametrul cercului înscris este egal cu latura pătratului circumscris, iar diagonala pătratului înscris într-un cerc este egală cu diametrul cercului circumscris. Vezi figura 4.

Fig. 4

Mai e de luat în calcul şi diferenţa dintre pătrat şi cerc, dintre 1 şi 0,785 = 0,215. Cu atât, cu 0,215 din suprafaţa sa este mai cuprinzător un pătrat decât cercul înscris în acel pătrat. Să-l notăm cu N pe acest 0,215 căruia, în figura 3, îi corespunde partea haşurată a pătratului. Într-un pătrat cu suprafaţa de 10.000 de unităţi – să zicem, un hectar – cercul înscris acoperă 7850 de unităţi, de metri pătraţi.
Dacă facem şi din N un reper, constatăm că el intră de 4,651 ori în pătratul respectiv (10.000 : 2150) şi de 3,651 ori în cercul corespunzător (7850 : 2150). Numărul N reprezintă fie (1)cât se pierde dintr-un pătrat când latura (diametrul) pătratului devine diametrul unui cerc, fie (2) cu cât este mai mare pătratul obţinut prin transformarea diametrului cercului în diametru (latură) a pătratului.
Raportul dintre suprafaţa pătratului circumscris şi cercul înscris în pătrat (1 : 0,785) = 1,273 reprezintă de câte ori este mai mare un pătrat decât cercul înscris în acel pătrat. Putem spune că acest număr ne poartă de la cerc la pătrat, este inversul lui π (de fapt al lui K). Merită şi el un nume: numărul L. Este numărul cu care înmulţim suprafaţa unui cerc pentru a afla suprafaţa pătratului circumscris cercului respectiv.
Nu ştiu dacă nu cumva, aşa cum mi se pare, inversul lui π nu a fost nici conceput şi nici calculat până azi dimineaţă, 19 septembrie 2005. Dacă e chiar aşa, uşurinţa cu care am ajuns la dumnealui, la acest 1,273, este o dovadă că raportarea la rază şi implicit la π este mai nefirească şi mai greoaie decât raportarea la diametrul cercului, la K adică. Această raportare deschide perspective mai interesante, mai logice, mai fireşti(sic!).
Perspectiva deschisă de K ne permite să ne întrebăm şi despre pătratul înscris într-un cerc, în ce raport se află cu cercul respectiv. Vom calcula astfel: înmulţim suprafaţa cercului cu numărul L, adică cu 1,273, şi obţinem suprafaţa pătratului circumscris cercului. Împărţim la 2 această suprafaţă şi obţinem suprafaţa pătratului înscris în cerc. De ce împărţim la 2? Pentru că pătratul înscris într-un cerc este, în fond, un pătrat înscris în alt pătrat, pătratul circumscris aceluiaşi cerc. Numesc pătrat înscris în alt pătrat acel pătrat ale cărui vârfuri ating pătratul circumscris la mijlocul laturilor acestuia. Adică, în termeni mai exacţi, pătratul înscris într-un pătrat a făcut diagonală din diametrul acelui pătrat. În felul acesta în interiorul pătratului mare se obţin patru triunghiuri drepte şi isoscele, a căror suprafaţă însumată este egală cu suprafaţa pătratului format din ipotenuzele celor patru triunghiuri. Vezi figura 4.
Altminteri, într-un pătrat se pot înscrie un număr infinit de pătrate, toate cu o suprafaţă mai mare decât pătratul numit de noi pătrat înscris în alt pătrat. Vom numi pătrat înscris în alt pătrat numai pătratul cu suprafaţa cea mai mică înscris în acel pătrat. Celelalte pătrate pot primi alt nume, nu au legătură cu discuţia noastră, nu sunt relevante, poate de aceea (sau pentru că) sunt şi infinite ca număr.
Raportul dintre cele două mărimi (cercul şi pătratul înscris în cerc) va fi de 0,785 : 0,5 = 1,57. Aşadar, un cerc reprezintă 1,57 din pătratul înscris în acel cerc şi 0,785 din pătratul în care se înscrie acel cerc, circumscris acelui cerc. Iar pătratul, aşa cum spuneam mai sus, este de 1,273 (numărul L) mai mare decât cercul care se înscrie în acel pătrat. Din compararea celor două numere – 1,57 şi 1,273 – se vede că cercul este figura geometrică care acoperă cel mai mult spaţiu la aceeaşi circumferinţă (perimetru).
*
Raportarea cercului atât la pătratul circumscris („pereche”), cât şi la pătratul înscris în acel cerc, precum şi raportarea pătratului la cercul înscris sau circumscris pătratului respectiv – vezi figura 4, ne prilejuieşte constatarea că pătratul circumscris unui cerc este egal cu dublul pătratului înscris în acel cerc. Observaţia este veche şi lipsită de importanţă, cel puţin la prima vedere. Ne pune ceva mai mult pe gânduri observaţia că cercul în care se înscrie un pătrat este de două ori mai mare, ca suprafaţă, decât cercul înscris în pătratul respectiv. (Nu ştiu dacă cercurile şi pătratele aflate în acest raport sunt denumite cu vreun termen special. Ar trebui să li se dea un nume specific. Vezi în continuare de ce.)
Aşadar în fiecare cerc putem înscrie un pătrat şi în fiecare pătrat putem înscrie un cerc, ceea ce înseamnă că pentru fiecare cerc (şi pătrat) există un cerc (respectiv, un pătrat) a cărui suprafaţă este egală cu jumătate din suprafaţa cercului (pătratului) respectiv. Această concluzie o putem raporta la întrebarea există mărimi care nu pot fi suprafaţa unui pătrat? Bunăoară am zice că nu putem avea un pătrat cu suprafaţa de fix 18 m.p., deoarece latura acestui pătrat este un număr ireal: 4,2426. Numai că ridicat la pătrat, 4,2426 dă exact 18. De unde ştim asta? Pentru că există un pătrat cu latura de 6 unităţi, a cărui suprafaţă este de 36 unităţi. Iar pătratul „subordonat” acestui pătrat, înscris în pătratul de 36 unităţi, va avea o suprafaţă egală cu jumătate din suprafaţa pătratului: 18.
Sau invers: jumătatea lui 18 este 9, număr „pătrat”, pătratul cu suprafaţa de 9 unităţi având latura de 3 unităţi, adică un număr întreg.
De unde regula următoare: poate fi suprafaţă a unui pătrat orice număr întreg care, prin înmulţiri sau împărţiri succesive cu 2, dă un număr „pătrat”, a cărui rădăcină pătrată este un număr întreg. De unde constatarea oarecum „reciprocă”: orice număr întreg care este pătratul unui număr întreg – 4, 9, 16, 25 etc., reprezinţă dublul sau jumătatea unui pătrat. Avem aşadar pătrate cu suprafaţa de 2 sau 8 unităţi (adică jumătatea şi dublul pătratului 4), 8 sau 32 (jumătatea sau dublul numărului pătrat 16), 18 ca dublul pătratului 9. Ceea ce ne îngăduie să alcătuim o listă a numerelor întregi care pot măsura fără rest suprafaţa unui pătrat: 2, 4, 8, 9,16, 18, 25, 32 (jumătate a numărului pătrat 64), 36, 49, 50 (jumătate a pătratului 100) ş.a.m.d. Listă distinctă şi surprinzătoare: 2, 8, 18, 50, 72 etc., numere întregi care sunt pătrate fără rest ale unor numere iraţionale. Este interesant că dublul sau jumătatea acestor numere este un număr cu rădăcină pătrată un număr întreg.
(Cred că trebuie corectat: nu este vorba de „înmulţiri sau împărţiri succesive cu 2”, ci de „înmulţirea sau împărţirea cu 2” o singură dată.)

*

Dacă notăm raportul dintre suprafaţa pătratului şi N(0,215) prin a, iar prin b notăm raportul dintre suprafaţa cercului şi acelaşi N, vom constata că raportul dintre a şi b este egal cu raportul dintre suprafaţa pătratului şi suprafaţa cercului înscris în pătrat. Acest rezultat pare că nu are nici o valoare (semnificaţie) pentru geometria cercului, ci numai la nivel aritmetic, al regulii potrivit căreia (a:c) / (b:c) = a/b.
Credem însă că, totuşi, cele două valori, a şi b, au o semnificaţie pentru geometrie: a reprezintă de câte ori restul, adică diferenţa de suprafaţă dintre un pătrat şi cercul înscris în pătrat, intră în suprafaţa pătratului: de 4,651 ori. Iar b reprezintă de câte ori acelaşi rest intră în suprafaţa cercului înscris în acel pătrat: de 3,651ori. Drept care 3,651: 4,651 = 0,785 = K.
Faptul că a – b = 1 nu e surprinzător, căci acest 1 este însuşi numărul N din care, în calculele de mai sus, am făcut un fel de unitate de măsură.
Cele două numere (3,651 şi 4,651), ca şi celelalte numere cu zecimale mai sus folosite, toate derivă din π, sunt, ca şi π, numere iraţionale, imaginare sau cum li se mai spune. Dar indiferent ce fel de numere sunt, 3,651 şi 4,651 sunt două numere între care diferenţa este mereu 1. Acest 1 reprezintă diferenţa dintre un pătrat şi cercul înscris în pătrat. Între pătrat şi cercul său pereche, le-am putea numi. Credem că acestui 1 i se cuvin onorurile de care a beneficiat până acum π. Acest 1, care este aşadar diferenţa dintre un pătrat şi cercul său pereche, se regăseşte în pătrat de 4,651 ori, iar în cerc de 3,651 ori.

*

Cele de mai sus ar demonstra utilitatea numărului K, a constantei K, în calcularea suprafeţei cercului, pentru care am avea mai multe formule posibile, la fel de corecte. Le aplicăm unui cerc înscris într-un pătrat cu latura de 100 unităţi:
1. Formula clasică: π R² = 3,14 x (50 x 50) = 3,14 x 2500 = 7850
Şi formulele derivate
2. K D² = 0,785 x (100 x 100) = 0,785 x 10.000 = 7850
3. D² – (D² x N) = 10.000 – (10.000 x 0,215) = 10.000 – 2150 = 7850
4. D² : 4,651 x 3,651 = 10,000 : 4,651 = 2150 x 3,651 = 7850.
Cea mai raţională mi se pare formula de calcul D² – (D² N), care urmează demersul cognitiv sugerat de figura 3: calculăm mai întâi ce este uşor de calculat – suprafaţa pătratului circumscris(D²), din care scădem ceea ce un pătrat are în plus faţă de cercul pereche, faţă de cercul înscris în acel pătrat.
Aşadar, noi propunem rescrierea, sub forma unor variante, a formulei clasice. Aceste variante, în anumite împrejurări, inclusiv şi îndeosebi didactice, ar putea fi mai utile, chiar preferabile.

*

Evident, privind lucrurile din punct de vedere istoric, putem spune că formulele de mai sus sunt variantele formulei clasice, binecunoscuta π R². Situându-ne în sinea lucrurilor, în atemporalitate, rămâne de văzut care este formula din care decurg celelalte, ca variante. Dintr-o asemenea perspectivă, suntem tentaţi să spunem că formula care ne vine din antichitate este o formulă variantă. Câteva argumente au fost prezentate mai sus. Mai sunt şi altele.

*

Dacă ne-am opri aici, cele de mai sus ar constitui o mostră perfectă de cum se poate face „băbeşte” chiar şi geometrie. Dar nu ne oprim, ci mergem mai departe ca să ne punem două întrebări, cu care se alege orice cititor serios din cercetarea atentă a celor de mai sus:
(1) ce caută raza cercului şi pătratul acesteia în formula clasică a suprafeţei cercului?
(2) De ce l-am împărţit pe 3,14 la 4 ca să obţinem valoarea lui K = 0,785?
Cele două întrebări au un răspuns comun:
Vom observa mai întâi că suprafaţa pătratului circumscris cercului se poate şi ea calcula pe baza lui R, a razei cercului. Suprafaţa pătratului este egală cu 4 x R². Putem spune că am apelat astfel la „raza” pătratului, „rază” egală cu ½ din latura pătratului, din „diametrul” pătratului. Numesc „diametru” al pătratului linia care împarte pătratul în două dreptunghiuri egale. (Este recomandabilă folosirea ghilimelelor…) La fel, raza cercului este egală cu ½ din diametru. A calcula suprafaţa pătratului pornind de la „raza” acestuia este un demers posibil, ne duce în cele din urmă la un rezultat corect, dar este totuşi un procedeu indirect, ocolitor şi mai ales lipsit de eleganţă în comparaţie cu formula, pe bună dreptate consacrată, D². (Vezi fig. 5)

Fig.5

Comparând cele două formule, D² şi 4 R², ne întrebăm dacă nu cumva faptul că R² intră de 4 ori în suprafaţa pătratului este motivul pentru care l-am împărţit mai sus pe 3,14 la 4 ca să-l obţinem pe K? Nu pare totuşi să fie vorba de „acest” 4. Avem nevoie de „un” 4 care să aibă totuşi o relaţie directă cu π, cu celebrul 3,14. Să ne aducem aminte ce înseamnă π: numărul care ne arată de câte ori diametrul intră în circumferinţa cercului. De 3,14 ori. Numai că diametrul cercului, fiind şi „diametrul” pătratului circumscris, este egal cu latura pătratului şi intră aşadar de 4 ori în „circumferinţa” pătratului, adică în perimetrul pătratului. (Credem că acest număr, de câte ori intră diametrul cercului în perimetrul pătratului, adică acest 4, merita la fel de mult ca şi 3,14 onoarea de a purta un nume, tot grecesc… Faptul că e atât de uşor să constaţi de câte ori intră diametrul cercului în perimetrul pătratului pereche nu scade valoarea, importanţa acestui 4).
Circumferinţa cercului fiind egală cu diametrul D înmulţit cu 3,14, logic este ca orice apariţie a lui π, a lui 3,14, să fie însoţită de D, de mărimea D, mai ales atunci când e vorba de suprafaţa cercului. La fel cum pătratului, atât perimetrul cât şi suprafaţa i le calculăm în funcţie de „diametru”, egal cu latura pătratului. (Ipoteză: care este baza de calcul la pătratul circumscris şi, în general, la orice pătrat? Este latura pătratului sau „diametrul” pătratului?) Conchidem: Raza R a cercului nu are ce căuta în acest calcul! Formula 3,14 R² este la fel de neadecvată pentru suprafaţa cercului ca şi formula 4 R² pentru suprafaţa pătratului.
*

Raportarea cercului la pătrat este cerută de faptul elementar că suprafaţa unei figuri geometrice, cel puţin până în momentul de faţă, se măsoară în pătrate. În forma cea mai simplă, raportarea cercului la pătrat dă naştere la două figuri geometrice, ca variante posibile:

Fig. 6 Fig.7

Le vom numi printr-o sintagmă consacrată: cvadratura cercului. În fig.6 avem cvadratura mare a cercului, în fig.7 cvadratura mică (sau majoră, respectiv minoră). Ambele pătrate, şi cel mare, şi cel mic (circumscris, respectiv înscris), pot fi baza de plecare, de referinţă, pentru a ajunge la suprafaţa cercului încadrat, „încolţit”. Numitorul comun al formulelor ce vor rezulta şi se vor aplica va fi diametrul cercului, care, ca „diametru” şi al pătratului, este egal cu latura pătratului major şi cu diagonala pătratului minor. Pentru a ajunge la formula suprafeţei cercului este preferabil să plecăm de la cvadratura mare deoarece este mai uşor să calculezi suprafaţa pătratului pornind de la „diametru”, de la latura acestuia, şi nu de la diagonală. Va fi existând o formulă de calcul care să plece de la cvadratura mică, de la raportul constant dintre două pătrate la care latura unuia („diametrul”) este egală cu diagonala celuilalt. Măcar prin această mijlocire pătratul mic este într-un raport constant cu cercul circumscris. Ca suprafaţă, pătratul mic, înscris în cerc, reprezintă jumătate, ½ din pătratul mare, circumscris cercului. Iar cercul înscris în pătratul mic va fi jumătate, ½ din cercul mare. Aceasta regulă – o putem numi aşa, conţine într-însa premisa unei concluzii neaşteptate: indiferent de dimensiunile sale, orice pătrat şi orice cerc este perfect divizibil prin 2. Pentru orice cerc şi orice pătrat există un cerc sau, respectiv pătrat, cu o suprafaţă egală cu jumătatea acelui cerc (pătrat). Mutatis mutandis rezultă o concluzie şi mai neaşteptată: cele două mărimi, π şi K, sunt mărimi divizibile prin 2 la infinit. (Nota bene: am zis mărimi, iar nu numere…)
Procedura cea mai simplă este să stabilim ce raport există între suprafaţa pătratului mare D² şi suprafaţa cercului pereche. Acest raport va fi egal cu raportul dintre circumferinţa cercului şi perimetrul pătratului. Circumferinţa cercului este de 3,14 D, iar perimetrul pătratului este de 4 D, deci 3,14 : 4 = 0,785. Acestui 0,785 i-am dat numele de (numărul) K.
Nota bene: Dat fiind că cercul şi pătratul sunt două figuri geometrice regulate, se poate uşor demonstra că la fiecare dintre ele există un raport constant şi acelaşi între perimetru (circumferinţă) şi suprafaţă. Ba chiar între perimetru (circumferinţă), suprafaţă şi volum! Iar „cvadratura cercului”, prin reducere la absurd, poate demonstra că produce un raport constant între suprafaţa cercului şi a pătratelor implicate. Iar acest raport nu poate fi, în cazul cvadraturii mari, decât raportul dintre circumferinţa cercului şi perimetrul pătratului, adică raportul dintre 3,14 şi 4.
Cu alte cuvinte, raportul 3,14 : 4 ne dă numărul de pătrate circumscrise, 0,785, care intră (de 0,785 ori) în suprafaţa cercului. Sau măsura, proporţia de 0,785, în care pătratul este acoperit prin cercul pereche din cvadratura majoră. La fel cum numai 0,785 din perimetrul pătratului se regăseşte în circumferinţa cercului: 0,785 x 4 D = 3,14 D.

*

Şi, totuşi, ce caută R sau R² în formula cercului? Pornim tot de la suprafaţa pătratului, D². Introducând raza R în formulă, deoarece D = 2 R , formula pătratului devine 4 R² . Iar formula cercului, 3,14 : 4 x D², devine 3,14 : 4 x 4 R². În felul acesta mai apare un 4, care se anulează (se reduce) cu celălalt, şi rezultă formula cunoscută: 3,14 R². După cum se vede, la această formulă ajungem dacă ne complicăm şi, într-un mod în sine nepermis, inadmisibil, îl înlocuim pe firescul D² cu 4 R² pentru a calcula suprafaţa pătratului…
Prin cele de mai sus înţelegem cum de s-a putut „renunţa” la 4 din raportul 3,14 : 4, mişcare determinată de renunţarea la reperul D, înlocuit cu 2 R. Calculele propuse de noi explică în absolut, adică atemporal, cum se poate ajunge la formula clasică a suprafeţei cercului. Clasică, dar nu şi logică, rezonabilă. Dacă formula circumferinţei cercului este 3,14 D, cinstit era ca în formula suprafeţei cercului să-l regăsim pe D. De ce cei vechi au renunţat la reperul D şi l-au înlocuit cu R? Credem că motivaţia nu este deloc teoretică, ci este strict practică şi accidentală: compasul! Compasul este un instrument care impune ca mărime raza cercului. Această mărime s-a făcut utilă din pricina unei coincidenţe: pătratul razei R intră de 4 ori în pătratul diametrului D, iar diametrul intră de 4 ori în perimetrul pătratului, la care se raportează numărul 3,14: de câte ori acelaşi diametru intră în circumferinţa cercului. Urmare, în formula cercului bazată pe raza R, în formula 3,14 : 4 x 4 R², cei doi 4 ajung să se anuleze unul pe altul, şi dispare astfel orice „aluzie” la diametrul D şi la pătratul circumscris cercului. Rămân astfel în formulă numai 3,14 şi raza R, fără să se mai poată înţelege ce le leagă între ele pentru ca din această legătură să se deducă (să rezulte) suprafaţa cercului!
Tot compasului (şi formulei π R² pe care a generat-o compasul) îi datorăm şi o definiţie a cercului despre care ne îngăduim să bănuim că a adus niscai prejudicii geometriei: „locul geometric al punctelor egal depărtate de un punct considerat centru”. O asemenea definiţie o considerăm lipsită de organicitate: natura „face” cercuri, dar le face (1)fără compas şi (2)din cu totul alte considerente decât cele care au dat naştere definiţiei de mai sus a cercului. Mai presus de orice definiţie, cercul este recunoscut (sic!) de natură, de firea lucrurilor, ca fiind modul (sau forma) în care, cu ajutorul unei linii, al unui perimetru, putem cuprinde suprafaţa cea mai mare. În general, aceasta ar fi definiţia deosebirii dintre linia dreaptă şi linia curbă: fiind cea mai scurtă distanţă între două puncte, linia dreaptă separă perfect două suprafeţe, nereuşind să se ataşeze (sic!) de nici una. Linia curbă impune distincţia dintre un spaţiu interior şi unul exterior, dintre un subiect şi restul lumii. Linia curbă ia atitudine, este însuşitoare. Îşi însuşeşte spaţiul concavităţii, şi lasă afară spaţiul convexităţii. Dumnezeu însuşi a făcut lumea din linii curbe, instituind astfel deosebirea dintre înăuntru şi afară. Linia dreaptă a inventat-o omul, în încercarea sa de a înţelege (a măsura) creaţia divină. Şi în felul acesta, alegând ca reper şi punct de plecare linia dreaptă, omul şi-a pecetluit destinul, soarta ca mereu să-i rămână „un rest” imposibil de înţeles, de explicat, de măsurat prin formulele sale, bazate toate pe linia dreaptă şi pe numere…
Linia curbă generează entităţi irepetabile în unicitatea fiecăreia. Căci pentru Dumnezeu nu există numere, nu există doi, există numai unu(apud Parmenide, via Petre Ţuţea)… Infinitul există numai ca diversitate nesfârşită, ca revărsare de unicate, în care nu există doi, nu există două ceva, două entităţi identice. În schimb, linia dreaptă naşte tentaţia uniformizării. A clonării, mai nou. Oricând şi oricare ar fi ele, două sau mai multe linii drepte se vor suprapune perfect. Odată cu linia dreaptă oamenii au inventat şi numerele. Nu le-au descoperit, ci le-au inventat. Ca şi şahul… Numerele sunt la fel de adevărate („purtătoare de adevăr”) ca şi şahul.
Linia curbă generează ca formă geometrică perfectă cercul. Linia dreaptă propune, mimetic, ca formă perfectă pătratul: patrulaterul care închide cea mai mare suprafaţă cu un perimetru dat. Bunăoară un hectar de formă pătrată necesită un gard împrejmuitor de 400 metri. Dacă hectarul ar avea forma unui dreptunghi cu laturile de 50 şi 200 metri, gardul ar avea lungimea de 500 metri. Hectarul de 10/1000 metri ar avea un perimetru de 2020 metri. Ş.a.m.d. Iar cercul cu suprafaţa de un hectar are diametrul de 113 metri şi circumferinţa de circa 355 metri. De aici trebuie să înceapă abordarea „organică” a cercului şi pătratului, implicit a sferei şi a cubului.
Aşadar, formula clasică a suprafeţei cercului, prin prezenţa reperului R, este la fel de nefirească, de ocolită, ca şi când la fel am măsura şi circumferinţa cercului, prin 2 R x 3,14, sau perimetrul pătratului, prin acelaşi 2 R, înmulţit cu 4.
În legătură cu prezenţa lui R în formula cercului ar mai fi de spus câteva lucruri lămuritoare:
1. Mai întâi că dacă am face un reper din R, consecvenţa ne-ar impune următoarea formulă a cercului: 6,28 / 8 x 4 R², simplificată devine 6,28 / 2 x R², iar în final 3,14 x R². Nu este exclus ca acest calcul să-l fi făcut şi cei vechi. În orice caz, este un calcul „latent”, virtual, posibil etc., prin care se poate înţelege cum s-a ajuns, cum s-ar fi putut ajunge, în final, la acest ciudat 3,14 R².
2. Ridicând la pătrat lungimea 2 R, apare „în joc” încă „un” 4, alături de primul 4, carelativ al lui 3,14, care ne arată de câte ori intră diametrul cercului în perimetrul pătratului pereche. Aşadar, (2 R) ridicat la pătrat este egal cu 4 R². Dar la 4 din această formulă se poate ajunge şi prin însumarea celor patru pătrate ale razei R din care, în mod evident, se compune pătratul circumscris cercului de măsurat. Cu alte cuvinte, (2 R)² este egal c u (2 + 2)R² sau cu (2 x 2)R², 4 fiind egal atât cu 2 x 2, cât şi cu suma aceloraşi numere: 2 + 2. Această ambiguitate (sic!) a lui 4 credem că are şi ea legătură cu apariţia formulei de neînţeles π R². Este de neînţeles deoarece aritmetica, pentru care nu există numere omonime sau polisemantice(sic), nu s-a sfiit să elimine din formulă ceea ce avea înţeles, adică pe cei doi 4, care trebuiau păstraţi, nu se puteau anula unul pe altul deoarece aveau un înţeles, dar nu aveau acelaşi sens, nu erau „acelaşi” 4! Iar fără ei şi mai ales fără 4 din raportul 3,14 / 4 dispare suportul teoretic al relaţiei dintre pătrat şi cerc. Acest suport teoretic este foarte probabil că nu a precedat şi determinat găsirea formulei de calcul. Credem că aşa s-a procedat atunci, pe plaja de la Syracuza, tot „băbeşte”, punând la un moment dat în relaţie deschiderea compasului cu numărul care măsura de câte ori intră diametrul cercului în circumferinţa acestuia. Fără să „realizeze” că acest număr, numărul 3,14, are sens numai în tandem cu numărul care măsoară de câte ori acelaşi diametru intră în perimetrul pătratului pereche. Adică numărul 4, atât de banal şi de evident, deloc misterios. Dar încărcat cu o semnificaţie la fel de importantă ca şi perechea sa 3,14. Iar prin raportarea lui 3,14 la 4 semnificaţia sporeşte, devenind principiu.
3. Principala cauză a fost coincidenţa acestui 4 cu 4 care se referă la numărul de câte ori pătratul „razei” pătratului intră în suprafaţa pătratului. Acest al doilea 4, la rândul său, are şi el o anumită ambiguitate, care a ascuns şi mai mult interdicţia de a-l elimina pe primul 4 din formula cercului. Raportul dintre 3,14 şi 4 nu trebuia scos din formulă. Dacă totuşi s-a întâmplat aşa, dacă nu s-a ţinut seama de polisemia lui 4, rezultatul, inevitabil, nu putea să fie decât apariţia unui paradox, paradoxul lui π, mai exact al formulei cercului rezultată prin reducerea lui 4 cu 4: π R² Dacă am fi plecat nu de la compas, nu de la mărimea R, ci de la un alt procedeu tehnic, care ne-ar fi oferit altă mărime, să zicem mărimea S = 1/3 D, am fi calculat suprafaţa cercului după formula 3,14 / 4 x (3S)² = 3,14 / 4 x 9 S². Şi ajungeam astfel, obligatoriu, la mărimea 3,14 / 4 = 0,785 = K. Singura simplificare logică, iar în acest caz şi singura posibilă, ar fi fost să înlocuim pe 4 R², adică pe 9 S² cu D² şi am fi ajuns la formula cea mai firească 0,785 D², căci nici un artificiu aritmetic nu ne-ar fi tentat şi nici nu ne-ar fi permis să-l eliminăm pe 4 din raportul definitoriu pentru toată discuţia 3,14 / 4.
Aşadar, ne îmbie o ipoteză extrem de tentantă pentru un filolog: polisemia numerelor… A numărului 4, din formula cercului, formulă care nu poate fi confundată cu un exerciţiu de aritmetică, atâta vreme cât fiecare număr din formulă are o semnificaţie ad hoc, strict referenţială, ceea ce face ca apariţia de două ori a aceluiaşi număr 4 să introducă în „text” de fiecare dată altă semnificaţie. Aplicarea mecanică a regulilor de simplificare a unei operaţiuni aritmetice face ca formula finală să nu mai păstreze semnificaţiile cu care era încărcată iniţial.
Formula 3,14 / 4 x 4 R² este evident logică, sensé, cum ar zice franţuzul. Dar şi mai logic şi mai firesc era ca prima operaţie, săvârşită chiar înainte de a se propune o formulă de calcul pentru suprafaţa cercului, să fie rezolvarea raportului 3,14 / 4, adică reducerea acestuia la un singur număr, la 0,785. În felul acesta respectăm valoarea de entitate şi însăşi semnificaţia acestui raport în cadrul cvadraturii cercului, dacă ni se acceptă acest pleonasm… Căci este o entitate acest număr K, el reprezintă raportul constant dintre cerc şi pătratul pereche, pătratul major, la toate cele trei niveluri: liniar sau unidimensional (raportul dintre circumferinţa cercului şi perimetrul pătratului), plan sau bidimensional (raportul dintre suprafaţa cercului şi suprafaţa pătratului) şi spaţial sau tridimensional (raportul dintre volumul sferei şi volumul cubului). Existenţa acestei constante face posibilă calcularea suprafeţei cercului. Singur, neraportat la 4, numărul 3,14 nu are nici o relevanţă pentru suprafaţa cercului. Numărul K arată de câte ori perimetrul şi suprafaţa pătratului, precum şi volumul cubului, mărimi uşor de măsurat, intră în circumferinţa şi suprafaţa cercului, în volumul sferei, mărimi pe care dorim să le aflăm, să le măsurăm. De 0,785 ori. Această semnificaţie dispare prin reducerea, vulgară, a lui 4 cu 4, prin desfiinţarea entităţii 3,14 / 4. Ar trebui să ne împiedice de la această manevră uşuratecă, ieftină, conştiinţa că raportul dintre 3,14 şi 4 este „secretul” şi cheia cvadraturii cercului. Nu avem voie să ne atingem de el, decât pentru a-l preciza mai bine: este 0,785.
În realitate, 3,14 nu reprezintă raportul dintre circumferinţa cercului şi diametrul cercului, ci raportul dintre circumferinţa cercului şi latura (sau „diametrul”) pătratului circumscris. Or, circumferinţa cercului este mult mai firesc să o raportăm la perimetrul patratului, iar acest raport dă ca mărime constantă pe K, egal cu 0,785…
În fine, un ultim argument – la care mă declar în mod deosebit sensibil, este de natură etimologică: 4 nu are cum să lipsească din „cvadratura” cercului, deoarece şi denumirea lui 4, adică „patru”, provine din acelaşi etimon latinesc quadrum. Ca şi cuvintele cvadratură şi cadru… Or, introducerea lui 4 şi raportarea la 4 a celebrului 3,14, ne duce la 0,785.
Repetăm semnificaţia acestui număr K: el ne arată de câte ori – de 0,785 ori, intră perimetrul şi suprafaţa pătratului în circumferinţa, respectiv suprafaţa cercului, şi tot de 0,785 ori intră volumul cubului în volumul sferei înscrise în acel cub. De ce pornim de la perimetru şi suprafaţa patratului? Pentru că acestea, ca şi volumul cubului, sunt mărimi uşor de măsurat, iar de la ele, de la ce este uşor şi simplu, purcedem la ce este greu şi complex.

*
Reducând formul 3,14 / 4 x 4 R² la o formulă uşor de memorat, 3,14 R², aritmetica şi-a depăşit condiţia, a încălcat un teritoriu care îi era interzis – al semnificaţiilor, şi s-a pretat cu multă uşurătate la un artificiu de calcul pe care teoria cvadraturii, adică înţelegerea semnificaţiei cu care fiecare număr intră în formulă, nu-l poate admite. Se vede clar că la data când s-a inventat (iar nu descoperit!) formula π R², teoria cvadraturii cercului era încă nedescoperită, necunoscută celor care au dat (întâmplător?) peste formula 3,14 R² şi au constatat că le este de folos, deşi nu prea înţelegeau de ce. Nu aveau cum să înţeleagă ceva, deoarece înţelesul fusese sacrificat prin reducerea la aritmetică a geometriei. Dar mai ales prin întâmplarea că deschiderea compasului reprezintă ½ din diametrul D, înlocuit astfel cu 2R. Acest detaliu tehnic, deloc teoretic, lipsit de orice „boltă metafizică”, a marcat calculul suprafeţei cercului şi chiar teoria cercului într-un mod aproape jenant. A fost astfel posibilă folosirea lui 3,14 fără a-l mai raporta la 4. E foarte probabil că tot jucându-se cu acest 3,14, cineva a băgat de seamă că dacă este înmulţit cu pătratul razei R, se obţine suprafaţa cercului. De o justificare teoretică nu putea fi vorba. Nici atunci, nici acum.
Teoretic discutând, formula cercului nu putea face un reper din R decât pentru a mijloci astfel raportarea, corectă numai aceasta, la D, diametrul cercului şi deopotrivă al pătratului pereche din cvadratura mare a cercului. Repet: dacă apelăm la π, la 3,14, trebuie să o facem ţinându-l permanent în legătură cu 4, căci numai împreună cele două numere alcătuiesc o entitate, au un înţeles. Acest înţeles este …mai multe, unul, cel primordial, fiind dat de fatalitatea acceptată de toată lumea de a măsura suprafaţa oricărei figuri geometrice cu ajutorul pătratului. Chiar şi atunci când perimetrul figurii de măsurat este o formă regulată a liniei curbe. Circumferinţa, ca linie curbă îl impune pe 3,14, iar diametrul cercului, linie dreaptă, cu ajutorul căruia am măsurat circumferinţa, îl impune pe 4. 4 fiind însă un număr atât de „cuminte”, de banal, nu a fost luat în seamă, nu a atras atenţia, aşa cum s-a întâmplat cu 3,14, număr infinit şi nu mai ştiu cum, capabil să dea fiori inteligenţei noastre, să introducă o marcă de mister într-un domeniu exclus din start înfiorării metafizice. Formulăm astfel ultima şi cea mai riscantă ipoteză cu privire la cvadratura cercului. Infirmarea ei nu are nici o consecinţă pentru celelalte ipoteze.

Bucureşti, 30 Decembrie 2005
ION COJA

Post scriptum Aflu de la dl Apostol Cuturicu că formula propusă de noi, bazată pe diametrul cercului, iar nu pe rază, nu este chiar cu totul necunoscută printre matematicieni. Unii matematicieni, aş preciza! Problema care se pune este dacă s-a mers mai departe şi s-au investigat toate consecinţele acestei abordări „organice” a problemei suprafeţei cercului şi, implicit, a volumului sferei. O asemenea abordare, care continuă şi se amplifică mult peste paginile de mai sus, nu se poate efectua decât plecând de la valoarea K= 0,785, raportul dintre circumferinţa cercului şi perimetrul pătratului pereche. Deocamdată însă ne limităm la cele de mai sus…
Cred că mai este utilă o precizare, finală şi apăsată: textul de mai sus, în esenţa sa, propune ipoteza potrivit căreia ar exista o polisemie a numerelor, în anumite situaţii. Formula cercului bazată pe raza cercului pune în joc de două ori numărul 4, dar de fiecare dată ar fi vorba de alt 4, o dată 4 rezultat din raportul dintre perimetrul pătratului în care se înscrie cercul şi diametrul cercului, iar celălalt 4 care corespunde raportului dintre suprafaţa pătratului amintit şi pătratul razei cercului respectiv. Pe primul 4 l-aş numi organic, el este inevitabil ca şi 3,14. Al doilea 4 nu are ce căuta în formula rezonabilă a cercului. În această formulă nu poate să apară decât un singur 4, în tandem cu 3,14, raportul dintre ele dându-ni-l pe K – 0,785. „Greşeala” de a nu ţine seamă de acest 4 cu două înţelesuri duce la formula numită „clasică”, 3,14 R², dar care este atât de puţin raţională, atât de nefirească. Aritmetica pare astfel că îşi subordonează geometria. Or, dintre cele două, geometria este mai „naturală”, capabilă propriu zis să umple de semnificaţii un număr. Ceea ce nu este cazul în aritmetică. Oare putem de aici deduce că nu totdeauna ce este admis în aritmetică se potriveşte a fi aplicat şi în geometrie?… Pentru a ajunge la această concluzie ar trebui să fie mai limpede impasul în care ne aduce aritmetica, abuzul de aritmetică, şi ne-ar mai trebui câteva situaţii de acest fel. Subsemnatul de mine nu se simte în stare să meargă mai departe. Poate că nici nu există un „mai departe”.