RAZA SAU DIAMETRUL CERCULUI?

Stimate dle Profesor Coja,

Inteleg din tot ce ati prezentat in lucrarea CERCUL BINE INCOLTIT, ca de fapt faceti o pledoarie pentru preeminenta relatiei Aria cercului =∏D² /4 desigur identica algebric si geometric, daca inlocuim D cu dublul razei,R cu cea clasica : Aria cercului = ∏ R²

O considerati pe prima ca decurgand organic din proprietatile geometrice ale figurilor implicate: cerc , patrat inscris si patrat circumscris cercului respectiv.

Mai intai voi arata ca intradevar primele masuratori istorice ale lungimii cercului coreleaza circumferinta cu diametrul mai degraba decat cu raza.

Faptul ca raportul dintre circumferinta cercului si diametrul sau este constant, este cunoscut de foarte mult timp… incat nici nu i se mai poate gasi originea. Este apropape sigur ca primele valori ale lui ∏ au fost gasite prin masuratori.

De exemplu se lua o sfoara si se masura circumferinta unui cilindru si diametrul si se facea raportul acestora constatandu-se ca era cam acelasi numar orice diametru ar fi avut cilindrul.

Papirusul Rhind, care dateaza din 1650 i.H., dadea 4(8/9)²=3,16 ca valoare a lui ∏.

Se pare ca aici nu mai este vorba de masuratoare ci de calcul geometric.

Cu 2000 de ani inaintea erei noastre babilonienii din Susa, calculasera ∏ ca fiind 3,125, iar vechii caldeeni considerau ∏ egal cu 3 considerand circumferinta cercului egala cu cea a hexagonului inscris care este 6R adica 3 D. Si evreii din aceiasi zona geografica il considerau pe ∏ egal tot cu 3, dovada fiind in Biblie, intro masura a unui mare bazin de arama de forma rotunda cu diametru de 10 coti si circumferinta de 30 coti.

Si chinezii prin secolul 3 i.e.n. de era noastra il considerau tot egal cu 3.

Se vede de aici ca probabil relatia empirica era cea utilizata desi cand apar doua zecimale te gandesti si la calcul geometric.

Odata cu aparitia problemei cuadraturii cercului, calculul constantei ∏ a capatat importanta deosebita, grecii avand din secolul Viii-Vii i.e.n. ideia clara ca circumferinta cercului este din ce in ce mai bine aproximata in minus cu circumferinta unui poligon regulat inscris sau in plus cu circumferinta unui poligon regulat circumscris, cu cat numarul de laturi al acestuia creste, si am vazut ca ptr hexagonul inscris obtinem pentru ∏ valoarea 3.

Arhimede(287-212 i.Hr.) a gasit modul de al calcula oricat de exact dorim pe ∏ si a reusit sa faca calculul pentru poligoane inscrise si circumscrise cu 96 laturi astfel incat el a obtinut inegalitatea 3¹⁰⁄₇₁ (aproximativ 3.1408) <∏ <3¹⁄₇ (aproximativ 3.1429), aparand astfel 3,14 valoare compatibilă cu valoarea actuală de aproximativ 3,1416 si a demonstrat că aria unui cerc este egală cu ∏ înmultită cu raza la pătrat.

Ulterior arabii si indienii au marit numarul de laturi ale poligoanelor regulate folosite ajungand la precizii foarte mari(peste zece zecimale exacte ale lui ∏) iar cand s-a demonstrat ca ∏ este irational (Lambert sec 18) si apoi transcendental(Lindeman sec 19-sec 20) s-a lichidat definitiv si cu problema cuadraturii cercului, caruia insa dezvoltarea matematicii trebuie sa-i fie recunoscatoare vesnic ca si postulatului paralelelor pentru dezvoltarea ce i-au produs-o.

Ultimul care a folosit metoda geometrica data de Arhimede a fost Cristian Huygens(1629-1695) continuindu-se apoi aproximarea lui ∏ cu metode algebrice si azi cu calculatorul, valoarea calculata pentru ∏ a ajuns la valori fantastice , care depasesc cu mult orice necesitate practica, iar in succesiunea de mii si zeci de mii de zecimale date de computer, nu s-a gasit nicio regularitate, confirmandu-se practic perfecta irationalitate a acestei sublime si zeiesti (divina eu o consider doar pe e) constante universale.

Dau spre amuzament numarul ∏ cu mai multe zecimale : 3,141.592.653

Tot Arhimede a dat o propozitie esentiala, desi nu stiu daca exista demonstratia ei, pe care sper s-o fac eu in cele ce urmeaza, spunand ca : Cercurile sunt intre ele ca patratele diametrelor.

A dat-o si pe cea valabila in cazul sferei “Sferele sunt intre ele in raportul cuburilor diametrelor.”

Asadar vedem ca istoriceste notiunea de diametru este pe prim plan, ceea ce pare sa confirme ipoteza dlui Coja, macar ca dezvoltare istorica a geometriei.

Daca se lucreaza cu D atunci in locul constantei denumite ∏ apare un alt numar, o alta constanta la fel de transcedentala si cu o infinitate de zecimale ca si ∏ dar cu o valoare permanent de 4 ori mai mica decat cea a oricarei aproximari a lui ∏.

Adica pentru vechii evrei, chinezi noua constanta careia dvs ii spuneti K, este egala cu 0,75, iar la dvs K=0,785, ceea ce desemneaza pentru ∏ o valoare aproximativa de 3,14 adica clasica valoare cu doar doua zecimale care se lucreaza in manualele de scoala.

Problema ridicata este dacă s-a mers mai departe şi s-au investigat toate consecinţele acestei abordări „organice” a problemei suprafeţei cercului şi, implicit, a volumului sferei. O asemenea abordare, spune autorul, care continuă şi se amplifică mult in studiul analizat, nu se poate efectua decât plecând de la valoarea K= 0,785, raportul dintre circumferinţa cercului şi perimetrul pătratului pereche.

Recomanda autorul ca de la acelasi raport sa se plece si in cazul sferei:

„Acest raport, 3,14 supra 4, se menţine şi ca raport între suprafaţa cercului şi suprafaţa pătratului circumscris, între sfera şi cubul corespunzător. Raportul fundamental aşadar dintre 3,14 şi 4 ne dă valoarea lui K = 0,785.

Din pacate raportul intre sfera si cubul corespunzator este de ∏/6, adica 0,52, dar din fericire nu dvs sutineti asta, ci domnul A.M.? care va prezinta lucrarea intro revista prezentare preluata si aici pentru introducere.

Spune dl Coja ca aria patratului circumscris cercului D este dubla fata de aria patratului inscris in acel cerc ceea ce este adevarat. Adica daca exprimam in D atunci ApM si Apm fiind aria patratului circumscris si respectiv inscris, putem scrie, :

ApM=(4/∏ ) ∏ D²/4 = D²

Apm= ApM/2= D²/2

Raportul Ac/Apm= ∏ x D²/4 : D²/2 =/2 =1,57

Dar

Ac= (∏/4) D² =0,785 ApM

Ac =(∏/4)x 2x(D²/2)= ∏/2 xApm= 1,57Apm

L= ApM/Ac = 4/∏ =1,273

Dif= ApM-Ac= D²–∏/4x D² =(1-∏/4) D² = (1-0,785)x D² =0,215 D² = 0,215ApM

Spuneti in continuare: Raportul dintre cele două mărimi (cercul şi pătratul înscris în cerc) va fi de 0,785 : 0,5 = 1,57. Aşadar, un cerc reprezintă 1,57 din pătratul înscris în acel cerc şi 0,785 din pătratul în care se înscrie acel cerc, circumscris acelui cerc. Iar pătratul, aşa cum spuneam mai sus, este de 1,273 (numărul L) mai mare decât cercul care se înscrie în acel pătrat. Din compararea celor două numere – 1,57 şi 1,273 – se vede că cercul este figura geometrică care acoperă cel mai mult spaţiu la aceeaşi circumferinţă (perimetru).

Oare? Nu se vede deloc ce spuneti dvs, ci eventual doar ca diferenta dintre aria cercului cercului circumscris unui patrat si aria patratului inscris este fata de aria cercului mai mica de 0,57 ori, in timp ce diferenta dintre aria patratului circumscris unui cerc si aria cercului inscris este fata de aria patratului circumscris(0,215) si atat )

Dar este adevarat ca cercul este „linia curbă închisă capabilă să acopere, să delimiteze, suprafaţa cea mai mare”. Desigur la un acelasi perimetru al respectivei suprafete.Dar nu din motivele prezentate de autor. Asa cum in mod ciudat dar corect sfera delimiteaza volumul minim, demonstratia nu e deloc simpla si se arata in calculul variational din matematicile superioare faptul că formele „uniforme” duc la un extrem(minim-maxim) aria(volumul) cuprins in interiorul respectivei forme(linie curba inchisa sau suprafata curba inchisa) , bazandu-se pe ecuatia Euler-Lagrange. In pranteza fie spus ca Euler a botezat cu litera greceasca ∏ raportul dintre circumferinta cercului si diametru, ceea ce ne face sa spunem ca intradevar daca vorbim doar de circumferinta cercului relatia organica , primitiva, experimentala in mod primar cum am aratat deja, este relatia de tipul circumferinta cercului este egala cu o constanta inmultita cu diametrul, sau si mai elegant spus raportul intre circumferinta unui cerc si diametru oricare ar fi cercul este constant si se boteaza cu simbolul ∏, se calculeaza in istorie cu aproximatii din ce in ce mai precise pentru ca sa se demonstreze in final irationalitatea si transcedentalitatea lui ∏.

Daca se calculeaza aria triunghiului echilateral Te, a patratului Ap, a hexagonului Ah si a dodecagonului constatam ca acestea sunt fata de cercul cu aceiasi circumferinta in rapoartele respectiv: 1,76; 1,33 , 1,10; 1,023. Deci intradevar insa pe o inductie incompleta, cercul cu acelasi perimetru cu oricare alt poligon, este de arie maxima si este desigur normal ca cu cat numarul de laturi creste deosebirea intre cele doua arii va fi mai mica, arcul de cerc tinzand sa fie egal cu latura poligonului .

Cred ca tot printro demonstratie similara cu cea de la sfera se poate gasi adevarul afirmatiei dlui Coja si pe care eu aici doar l-am verificat printro inductie incompleta iar dl Coja doar l-a afirmat caci ce crede dlui ca demonstreaza asta repet ca este fals.

Dar sa revin la textul dlui Coja.

Urmeaza analiza unor rapoarte si anume dintre patratul inscris si diferenta de arii intre patratul circumscris si cercul inscris cat si patratul circumscris.

Dl Coja folosind valori numerice deja gasite,introduce numerele 4,651 si 3,651, a caror diferenta este 1. Calculul numeric este aproximativ si nu conduce la un unu perfect daca se lucreaza cu mai multe zecimale si atunci ce spune dl Coja va apare mai riguros daca vom aplica relatiile geometrice fara nicio aproximatie.

Adica diferenta de mai sus este D² /(1-∏/4) si deci primul raport va fi:

D² / D² x (1-∏/4) adica 1/(1-∏/4) =aproximativ cu 4,651

si al doilea

(∏/4)x D² / D² (1-∏/4) adica (∏/4) /(1-∏/4) = aprox cu 3,651

Se vede ca diferenta celor doua fractii care au acelasi numitor, 1-∏/4. este o fractie cu un numarator 1-∏/4 adica egal cu numitorul si deci rezultatul este numarul 1, un unu perfect, dar nimic special, caci doar am facut prin aceste operatii algebrice , diferenta dintre doua entitati si am impartit-o la o aceiasi diferenta.

Adica (x-y) impartit (la x-y) este absolut sigur ca da 1.

Si se contina analiza , cu prezentarea formulelor posibile-se mai pot imagina si altele, caci in algebra o expresie se poate scrie in n feluri identice intre ele si pe asta se bazeaza calculul algebric si artificiile acestuia- pentru aria cercului:

1. Formula clasică: π R²

Şi formulele derivate

2. K D²

3. D² – (D² x N) =

4. D² : 4,651 x 3,651

Dl Coja considera cea mai raţională , formula de calcul D² – (D² N), care urmează demersul cognitiv sugerat anterior calculand mai întâi ce este uşor de calculat – suprafaţa pătratului circumscris(D²), din care scădem ceea ce un pătrat are în plus faţă de cercul pereche, faţă de cercul înscris în acel pătrat.

Aşadar, se propune rescrierea, sub forma unor variante, a formulei clasice. Aceste variante, în anumite împrejurări, inclusiv şi îndeosebi didactice, ar putea fi mai utile, chiar preferabile.

Eu imi permit sa le scriu cu notatia ∏ care este un numar sublim in transcedentalitatea sa, botezat astfel cum spuneam de un matematician sublim Leonhard Euler.

Asadar:

S= ∏ x R² aproximativ egal cu 3,14 R²

Si formulele derivate:

S=∏x D²/4=o,25 ∏ x D² aproximativ egal cu 0,785 D²

unde D=2xR

Spatrat-S= D²- (D² -(∏/4)x D² )= D²x∏/4) adica relatia 2 aprox egal cu (0,785) D²

S= 1/(1-∏/4) x ∏/4/(1-∏/4) x D² adica ∏ x D²/4 = 0, 0785 D²

Si spuneti dle Cojaca ca o formula organica ar fi singura din cele patru care nu-l da direct pe S ci folosind o diferenta.!!!!????

Adica ne bazam pe elementara relatie algebrica :X= Y-(Y-X) =Y-Z

utilizata cu notatia Z=Y-X.

Cu alte cuvinte tinem minte relatia de calcul pentru Z si cea pentru Y , relatia pentru Z presupunand cunoasterea anterioara a relatiei pentru X si Y, ca sa-l calculam pe X!?

Ce facem dle Coja cu principiul simplitatii al lui William Occam numit si „briciul” lui Occam?

Si acum partea cea mai importanta a cercetarii dvs si va citez:

Dacă ne-am opri aici, cele de mai sus ar constitui o mostră perfectă de cum se poate face „băbeşte” chiar şi geometrie. Dar nu ne oprim, ci mergem mai departe ca să ne punem două întrebări, cu care se alege orice cititor serios din cercetarea atentă a celor de mai sus:

(1) ce caută raza cercului şi pătratul acesteia în formula clasică a suprafeţei cercului?

(2) De ce l-am împărţit pe 3,14 la 4 ca să obţinem valoarea lui K = 0,785?

Cele două întrebări au un răspuns comun:

Vom observa mai întâi că suprafaţa pătratului circumscris cercului se poate şi ea calcula pe baza lui R, a razei cercului. Suprafaţa pătratului este egală cu 4 x R². Putem spune că am apelat astfel la „raza” pătratului, „rază” egală cu ½ din latura pătratului, din „diametrul” pătratului. Numesc „diametru” al pătratului linia care împarte pătratul în două dreptunghiuri egale. (Este recomandabilă folosirea ghilimelelor…) La fel, raza cercului este egală cu ½ din diametru. A calcula suprafaţa pătratului pornind de la „raza” acestuia este un demers posibil, ne duce în cele din urmă la un rezultat corect, dar este totuşi un procedeu indirect, ocolitor şi mai ales lipsit de eleganţă în comparaţie cu formula, pe bună dreptate consacrată, D². (Vezi fig. 5)

Comparând cele două formule, D² şi 4 R², ne întrebăm dacă nu cumva faptul că R² intră de 4 ori în suprafaţa pătratului este motivul pentru care l-am împărţit mai sus pe 3,14 la 4 ca să-l obţinem pe K? Nu pare totuşi să fie vorba de „acest” 4. Avem nevoie de „un” 4 care să aibă totuşi o relaţie directă cu π, cu celebrul 3,14. Să ne aducem aminte ce înseamnă π: numărul care ne arată de câte ori diametrul intră în circumferinţa cercului. De 3,14 ori. Numai că diametrul cercului, fiind şi „diametrul” pătratului circumscris, este egal cu latura pătratului şi intră aşadar de 4 ori în „circumferinţa” pătratului, adică în perimetrul pătratului. (Credem că acest număr, de câte ori intră diametrul cercului în perimetrul pătratului, adică acest 4, merita la fel de mult ca şi 3,14 onoarea de a purta un nume, tot grecesc… Faptul că e atât de uşor să constaţi de câte ori intră diametrul cercului în perimetrul pătratului pereche nu scade valoarea, importanţa acestui 4). Circumferinţa cercului fiind egală cu diametrul D înmulţit cu 3,14, logic este ca orice apariţie a lui π, a lui 3,14, să fie însoţită de D, de mărimea D, mai ales atunci când e vorba de suprafaţa cercului. La fel cum pătratului, atât perimetrul cât şi suprafaţa i le calculăm în funcţie de „diametru”, egal cu latura pătratului. (Ipoteză: care este baza de calcul la pătratul circumscris şi, în general, la orice pătrat? Este latura pătratului sau „diametrul” pătratului?) Conchidem: Raza R a cercului nu are ce căuta în acest calcul! Formula 3,14 R² este la fel de neadecvată pentru suprafaţa cercului ca şi formula 4 R² pentru suprafaţa pătratului.

Comentariul meu este : Pp= 4D (sunt patru laturi deci patru este numarul laturilor, iar cea a cercului este ∏ x D²/4 unde 4 provine de la R² = (D/2)². Deci este evident ca in primul caz 4 este un numar de laturi care ar putea fi si mai multe daca am face aceste rationamente pe poligoane cu mai multe laturi iar in al doilea este un numar independent de tipul poligonului si rezuta numai din relatia permanent adevarata ca R=D/2.

De exemplu la hexagonul circumscris diametrul cercului intra de doi inmultit cu radical din 3 in perimetrul acestuia pe cand 4 de la aria cercului ramane in permanenta caci aria cercului este o formula independenta de toate poligoanele cu care o comparam, motiv pentru care credem ca si legatura cerc patrat circumscris care duce la relatii corecte este perfect inutila.

Trebuie subliniat ca daca in cazul patratului aria fiind patratul laturei este normal sa scrim

D² ca atat este latura dr tot latura este si 2R si deci am putea la fel de bine scrie aria ca fiind 4 x R², ceea ce ar avea semnificatia geometrica a sumei a patru patrate egale in care ar impartii cercul cele doua diametre ale cercului care unesc punctele de tangenta opuse.

Evident ca in cazul hexagonului avem alte relatii.

Daca nu am nevoie neaparat de raza in cazul patratului circumscris am nevoie de raza in cazul calculului cercului pur si simplu , al cercului in sine fara nicio corelatie cu alte figuri geometrice inscriise circumscrise regulate neregulate etc.

Spune apoi dl Coja, ca o concluzie importanta, dar care nu rezulta logic si necesar din ceva, ca raza cercului nu are ce cauta in aceste calcule de arii formula ∏ R², adica aceasta formul ar fi fortata nu ar decurge organic din rationamentul geometric

Sa vedem totusi cum de a aparut raza(ce cauta raza) in locul diametrului (desi algebric este acelasi lucru) in formula ariei.

Am vazut ca in calculul circumferintei istoriceste a aparut mai intai corelatia cu diametrul si ulterior cu R(∏D si echivalentul 2∏R).

De ce a aparut raza?

Pai incercarea de a rezolva sfidarea problemei celebre a cvadraturii cercului a impus incercarea de a gasi o expresie eventual rationala(raportul a doua numere prime intre ele) sau macar irationala de tipul radicalilor pe care teorema lui pitagora ii introdusese in aritmetica si geometrie.

Metoda de calcul cea mai eficienta de a-l calcula pe ∏ cea introdusa de Arhimede, era aproximarea circumferintei cu un poligon regulat inscris sau circumscris cercului, aproximatia cea mai slaba fiind obtinuta de triunghiul echilateral sau de patrat, ∏ fiind un numar aflat intre aproximarea in exces facuta cu ajutorul poligonului circumscris si cea prin lipsa facuta cu ajutorul poligonului inscris.

Intuitia ne spune ca la limita(grecii nu introdusesera in matematica lor acest concept) adica atunci cand numarul de laturi tinde la infinit lungimea lor din ce in ce mai mica tinzand la elementul infinitezimal de arc de cerc, cele doua poligoane se pot apropia oricat de mult de cerc si deci raportul intre perimetrul lor calculabil ca numar de laturi x lungimea laturii si diametru este valoarea constantei ∏.

Asa a determinat Arhimede numarul ∏ cu precizia aratata la inceputul acestui text.

Dar daca Arhimede a calculat perimetrul ca suma laturilor poligonului , aceste laturi erau si laturi ale triunghiurilor isoscele cu varful in centrul cercului, celelalte doua laturi fiind raze ale cerculi ca fiind celelalte doua laturi . Este evident pentru oricine stie cat de cat geometrie ca aceste coarde la poligoanul inscris sau segmente egale de tangente exterioare la cel circumscis, se calculeaza in functie de laturile egale ale triunghiului isoscel adica de raza.

In cazul in care poligonul are un numar par de laturi si diviziunea cu doi a triunghiului echilateral si apoi a hexagonului samd duce la un numar par de laturi, apare in factor comun marimea 2xR si un factor numeric care este tocmai numarul ∏. Desigur ca in loc de 2R se poate scrie D si atunci se pstreaza relatia arhaica.

Daca este vorba de suprafata atunci suprafata cercului este cat dorim de bine aproximata de triunghiurile isoscele cu varful in centru.

Ori suprafata unui triunghi este o latura inmultita cu inaltimea impartit la 2.Daca latura se determina in functie de R si inaltimea se determina tot in functie de R de unde aria , adica produsul lor impartit la doi se exprima ca o constanta determinata prin calculele geometrice inmultita cu raza la patrat si desigur ca raza la patrat apare ca factor comun astfel ca la insumarea tuturor triunghiurilor vom avea:

Spoligon = N x K x R² unde N este numarul de triunghiuri si K constanta rezultanta din calculul geometric.

Cum a demonstrat Arhimede ca N x K = ∏?

Foarte simplu si probabil ca astfel:

Aria cercului este suma a N triunghiuri cu baza coarda(la limita chiar arcul) de cerc si cu inaltimea la limita tinzand la raza. Atunci raza pe 2, iese in factor comun pe langa suma laturilor(arcelor de cerc) infinitezmale care insa toate la un loc dau obligatoriu circumferinta .

Deci Acerc= ½ x Circumferinta x R adica fie ∏D x R/2 = ∏ D²/4

fie 2∏RxR/2= ∏ R²

Cred ca acum este de ce formula organica este ∏ R² ceea ce nu inseamna ca nu se poate folosi la fel de bine si cea functie de diametru: ∏ D²/4

Cat despre raspunsul la a doua intrebare a dlui Coja si anume:

De ce l-am împărţit pe 3,14 la 4 ca să obţinem valoarea lui K = 0,785 ?

Pai este evident daca nu vrei sa scrii rezultatul geometric de ∏/4 nu ai decat sa faci impartirea cu doua zecimle caracteristice la ∏(3,14) si rezulta evident 0,785

Spune dl Coja: Raportarea cercului la pătrat este cerută de faptul elementar că suprafaţa unei figuri geometrice, cel puţin până în momentul de faţă, se măsoară în pătrate. În forma cea mai simplă, raportarea cercului la pătrat dă naştere la două figuri geometrice, ca variante posibile . Unitatea de masura pentru arii este unitatea de lungime la patrat, dar ariile se calculeaza cu relatiile algebrice la care ne conduce geometria, trigonometria sau geometria analitica.

S acum urmeaza cea mai grava afirmatie a eseului geometric al dlui Coja:

Tot compasului (şi formulei π R² pe care a generat-o compasul) îi datorăm şi o definiţie a cercului despre care ne îngăduim să bănuim că a adus niscai prejudicii geometriei: „locul geometric al punctelor egal depărtate de un punct considerat centru”.

Pai domnule profesor Coja daca nu am sti ca orice punct de pe circumferinta cercului sau sferei este egal departat de acel ombilico del mondo pe care grecii il considerau a fi Delphi iar eu acum il consider a fi punctul geometric centru al cercului cum mai se puteau face demonstratiile necesare calculului lui ∏, pe care dumneavoastra il luati ca atare(3,14) Daca cercul nu mai are aceasta proprietate nici circumferinta sau aria lui nu ar mai fi cele care ssunt caci ca la orice figura geometrica proprietatile ei metrice se deduc din definitie.

Din pacate din definitie nu rezulta cu evidenta ca raportul dintre circumferinta si diametru(sau raza) este constant adica are o aceiasi valoare oricare ar fi cercul.

La alte figuri geometrice astfel de proprietati se deduc imediat din definitie de ex rportul intre perimetrul patratului si latura ca fiind patru sau intre arie si latura ca fiind chiar latura .

Demonstratia se face printrun soi de inductie matematica folosind formula care da perimetrul si aria unui poligon regulat cu N laturi inscris intrun cerc de raza R

http://ro.wikipedia.org/wiki/Poligon_regulat

P= 2 N R sin (180/N)= N sin(180/N) D

A=(1/2) N R² sin 360/N

Reformulez convenabil fomula ariei : A= N R² sin (180/N) cos(180/n)

Ce se constata ?

Perimetrul si aria depind de R prin niste coeficienti de proportionalitate scalari adica independenti de marimile geometrice ci doar de N numarul laturilor poligonului .

Putem spune astfel ca oricare ar fi numarul N de laturi ale unui poligon regulat raportul dintre perimetrul lui si diametrul cercului circumscris este un numar constant pentru un anume numar de laturi adica:

P=KpxD si A=KaxR²

Pentru placerea noastra vom afisa cateva valori ale acestor constante pe care si anticii le puteau calcula9Arhimede le-a calculat desigur pana la acel poligon cu 96 laturi care i-a dat o aproximatie cu doua zecimale pentru numarul ∏

Astfel:

Triunghiul echilateral: Kp= 2,6 si Ka=1,3

Patratul: Kp= 2,82 si Ka=2

Pentagonul: Kp= 2,94 si Ka= 2,38

Hexagonul: Kp= 3 si Ka=2,6

Heptagonul: Kp=3,04 si Ka=2,74

Octogonul: Kp= 3,06 si Ka=2,83

Eneagon: Kp= 3,08 si Ka= 2,89

Decagon: Kp= 3,10 si Ka= 2,94

Dodecagon: Kp= 3,11 si Ka=3,00

Se constata ca cu cat poligoanele sunt mi departe de cercul in care sunt inscrise cu atat constanta pentru perimetru este mai departata de cea pentru suprafata si desigur ca si de valoarea 3,14.

De asemenea cea pentru perimetru pleaca de la 2,6 in timp ce cea pentru arie pleaca de la 1,3 ,cea pentru perimetru apropiindu-se mai repede de numarul 3,14

Dar cu cat marim numarul de laturi diferenta intre constante scade si devin din ce in c e mai aproape de 3,14 ceea ce este perfect normal.

Daca se procedeaza prin inductie putem constata ca cu cat N creste cu atat valorile constantelor cresc mai incet. Deasemeni cum formula pentru poligoane cu N laturi ne spune ca oricat ar fi de mare N relatia perimetru diametru este o constanta nu avem nici un motiv sa nu consideram ca regula se mentine si pentru cerc.

S-a verificat astfel printro cercetare pur geometrica conjectura lui Arhimede ca ariile cercurilor sunt in raportul razelor lor si adaug ca si afirmatia ca raportul circonferintelor este in raportul diametrelor ca fiind o conjectura similara ba din contra cea a lui Arhimede rezulta din prima care ar putea fi privita ca un postulat geometric nefiind demonstrabila decat prin teoria limitelor si a infinitilor mici

Adica s-ar putea spune ca figura geometrica plana formata in mod continuu din puncte egal departate de un punct oarecare numit centru are un raport constant intre circumferinta si raza sau diametru.

Cred ca tot ce am prezentat ici il va fi convins pe dl Coja, caci eu de dragul Dsale m-am ostenit , ca geometria cercului este pe baze nu numai corete dar si organice si ca R este elementul esential al cercului din care decurg toate celelalte.

In final as dori sa arat ca nu sunt insensibil la aspecte legate de felul celor pe care dl profesor Coja le-a considerat foarte frumos de a tine de „firescul” geometriei, ba din contra, si pentru asta prezint o contributie personala in axiomatica lui Euclid care va arata existenta unui element cu o organicitate mai slabe asa cum il introduce Euclid dar pentru care propun un altul mai firesc si mai normal a fi introdus la nivelul fundamentelor geometriei plane.

Respectiv eu sustin ca in loc de axioma unicitatii paralelei care are drept consecinta teorema unicitatii perpendicularei, problema sa se puna invers respectiv sa vorbim despre axioma unicitatii perpendicularei dusa pe o dreapta dintrun punct exterior acesteia si de teorema unicitatii paralelei dusa printrun punct exterior fata de o dreapta.

De ce sustin ca aceasta este abordarea organica?

Din motive de precizie, de claritate si chiar de estetica matematica.

Este mai riguros si mai precis sa vorbesti de perpendiculara coborata dintrun punct pe o dreapta, figura geometrica care se limiteaza la foaia de hartie sau la tabla de scoala, decat de paralela care trebuie prelungita macar mintal pana la infinit pentru a vedea ca nu se intersecteaza cu dreapta de care vorbim.

Este mai riguros si mai clar sa vorbesti de perpendiculara care determina de o parte a dreptei pe care o imtersecteaza doua unghiuri egale numite unghiuri drepte decat de o dreapta care nu se intalneste niciodata cu o alta dreapta , ceea ce ca si notiunea de infinit este o notiune mult mai vaga decat perpendicularitatea.

Daca ati ajuns pana aici va multumesc pentru atentie 

*

Nota redacției – Din păcate nu am putut identifica numele autorului care a făcut o lectură atât de doctă și de aplicată eseului meu. Comentariul său este deasupra textului meu. Ceea ce mă bucură nespus.