Raza sau diametrul cercului

Stimate dle Profesor Coja,

Inteleg din tot ce ati prezentat in lucrarea CERCUL BINE INCOLTIT, ca de fapt faceti o pledoarie pentru preeminenta relatiei Aria cercului(Ac) = π D2 /4 desigur identica algebric si geometric, daca inlocuim D cu dublul razei,R cu cea clasica : Ac = π R2
O considerati pe prima ca decurgand organic din proprietatile geometrice ale figurilor implicate: cerc , patrat inscris si patrat circumscris cercului respectiv.

Mai intai voi arata ca intradevar primele masuratori istorice ale lungimii cercului coreleaza circumferinta cu diametrul mai degraba decat cu raza.

Faptul ca raportul dintre circumferinta cercului si diametrul sau este constant, este cunoscut de foarte mult timp, atat de mult incat nici nu i se mai poate gasi originea. Este apropape sigur ca primele valori ale lui π au fost gasite prin masuratori.
De exemplu se lua o sfoara si se masura circumferinta unui cilindru si diametrul si se facea raportul acestora constatandu-se ca era cam acelasi numar orice diametru ar fi avut cilindrul.
Papirusul Rhind, care dateaza din 1650 i.H., dadea 4(8/9)2=3,16 ca valoare a lui ∏.
Se pare ca aici nu mai este vorba de masuratoare ci de calcul geometric.
Cu 2000 de ani inaintea erei noastre babilonienii din Susa, calculasera π ca fiind 3,125, iar vechii caldeeni considerau π egal cu 3 considerand circumferinta cercului egala cu cea a hexagonului inscris care este 6R adica 3 D. Si evreii din aceiasi zona geografica il considerau pe π egal tot cu 3, dovada fiind in Biblie, intro masura a unui mare bazin de arama de forma rotunda cu diametru de 10 coti si circumferinta de 30 coti.
Si chinezii prin secolul 3 i.e.n. de era noastra il considerau tot egal cu 3.
Se vede de aici ca probabil relatia empirica era cea utilizata desi cand apar doua zecimale te gandesti si la calcul geometric.
Odata cu aparitia problemei cuadraturii cercului, calculul constantei π a capatat o importanta deosebita, grecii avand din secolul Viii-Vii i.e.n. ideea clara ca circumferinta cercului este din ce in ce mai bine aproximata in minus cu circumferinta unui poligon regulat inscris sau in plus cu circumferinta unui poligon regulat circumscris, cu cat numarul de laturi al acestuia creste, si am vazut ca ptr hexagonul inscris obtinem pentru π valoarea 3.
Arhimede(287-212 i.Hr.) a gasit modul de al calcula oricat de exact dorim pe π si a reusit sa faca calculul pentru poligoane inscrise si circumscrise cu 96 laturi astfel incat el a obtinut inegalitatea 310⁄71 (aproximativ 3.1408) < π Ulterior arabii si indienii au marit numarul de laturi ale poligoanelor regulate folosite ajungand la precizii foarte mari(peste zece zecimale exacte ale lui π) iar cand s-a demonstrat ca π este irational (Lambert sec 18) si apoi transcendental(Lindeman sec 19-sec 20) s-a lichidat definitiv si cu problema cuadraturii cercului, caruia insa dezvoltarea matematicii trebuie sa-i fie recunoscatoare vesnic ca si postulatului paralelelor pentru dezvoltarea ce i-au produs-o.
Ultimul care a folosit metoda geometrica data de Arhimede a fost Cristian Huygens(1629-1695) continuindu-se apoi aproximarea lui π cu metode algebrice si azi cu calculatorul, valoarea calculata pentru π a ajuns la valori fantastice , care depasesc cu mult orice necesitate practica, iar in succesiunea de mii si zeci de mii de zecimale date de computer, nu s-a gasit nicio regularitate, confirmandu-se practic perfecta irationalitate a acestei sublime si zeiesti (caci divin eu il consider doar pe e) constante universale.
Dau spre stiinta numarul π cu mai multe zecimale : 3,141.592.653

Tot Arhimede a dat o propozitie esentiala, desi nu stiu daca exista demonstratia ei, pe care sper s-o fac eu in cele ce urmeaza, spunand ca : Cercurile sunt intre ele ca patratele diametrelor.
A dat-o si pe cea valabila in cazul sferei: “Sferele sunt intre ele in raportul cuburilor diametrelor.”
.
Asadar vedem ca istoriceste notiunea de diametru este pe prim plan, ceea ce pare sa confirme ipoteza dlui Coja, macar ca dezvoltare istorica a geometriei.

Daca se lucreaza cu D atunci in locul constantei denumite π apare un alt numar, o alta constanta la fel de transcedentala si cu o infinitate de zecimale ca si π dar cu o valoare permanent de 4 ori mai mica decat cea a oricarei aproximari a lui π.
Adica pentru vechii evrei, pentru chinezi noua constanta careia dvs ii spuneti K, este egala cu 0,75, iar la dvs K=0,785, ceea ce desemneaza pentru π o valoare aproximativa de 3,14 adica clasica valoare cu doar doua zecimale cu care se lucreaza in manualele de scoala.

Problema ridicata este dacă s-a mers mai departe şi s-au investigat toate consecinţele acestei abordări „organice” a problemei suprafeţei cercului şi, implicit, a volumului sferei.
O asemenea abordare, spune autorul, care o continuă şi o amplifică mult in studiul analizat, nu se poate efectua decât plecând de la valoarea K= 0,785, raportul dintre circumferinţa cercului şi perimetrul pătratului pereche.
Recomanda autorul ca de la acelasi raport sa se plece si in cazul sferei si citez:
„Acest raport, 3,14 supra 4, se menţine şi ca raport între suprafaţa cercului şi suprafaţa pătratului circumscris, între sfera şi cubul corespunzător. Raportul fundamental aşadar dintre 3,14 şi 4 ne dă valoarea lui K = 0,785..
Spune dl profesor Coja ca aria patratului circumscris cercului D este dubla fata de aria patratului inscris in acel cerc ceea ce este adevarat. Adica daca exprimam aceste arii in functie de D atunci ApC si ApI fiind aria patratului circumscris si respectiv inscris, putem scrie, :

ApC=D2
ApI= D2/2 = ApC/2

Raportul Ac/ApI= ∏ x D2/4 : D2/2 =/2 =1,57

Se mai pot scrie si alte relatii metrice adevarate :

Ac= (∏/4) D2 =0,785 ApC= 0.785x2xApI =1,57 ApI
Deasemeni raportul ApC/Ac = 4/∏ =1,273
Dif= ApC-Ac= D2-∏x D2 /4 =(1-∏/4) D2 = (1-0,785)x D2 =0,215 D2 = 0,215ApC

Spuneti in continuare: Raportul dintre cele două mărimi (cercul şi pătratul înscris în cerc) va fi de 0,785 : 0,5 = 1,57. Aşadar, un cerc reprezintă 1,57 din pătratul înscris în acel cerc şi 0,785 din pătratul circumscris acelui cerc. Iar pătratul, aşa cum spuneam mai sus, este de 1,273 mai mare decât cercul care se înscrie în acel pătrat. Din compararea celor două numere 1,57 şi 1,273, se vede că cercul este figura geometrică care acoperă cel mai mult spaţiu la aceeaşi circumferinţă (perimetru).
Oare asta se demonstreaza mai sus ? Atunci care sunt patratele cu acelasi perimetru cu cercul nostru?
Niciunul, caci perimetrul cercului este π xD, iar cele ale celor doua patrate circumscrise si inscrise cercului sunt 4xD si respectiv Dxrad 2/ 2.
Dar este adevarat ca cercul este „linia curbă închisă capabilă să acopere, să delimiteze, suprafaţa cea mai mare”. Desigur la un acelasi perimetru al respectivei suprafete.Dar nu din motivele prezentate de autor.
Voi demonstra eu acest adevar pentru patrat si alte cateva poligoane .
Intrdevar un cerc de diametru D are circumferinta π xD si un patrat cu acelasi perimetru va avea latura egala cu π xD/4. Rezulta imediat ca ariile celor doua figuri vor fi π x D2 /4 si π xD/4.x π xD/4, adica aria cercului este fata de aria patratului in raportul 4/ π = 1,273, adica supraunitar, cea ce demonstreaza ca la un acelasi perimetru cercul are o arie mai mare decat patratul

Daca se calculeaza si aria triunghiului echilateral, a patratului Ap, a hexagonului Ah si a dodecagonului s.a.m.d constatam ca acestea sunt fata de cercul cu aceiasi circumferinta in rapoartele respectiv: 1,76; 1,27 , 1,10; 1,023. s.a.m.d.
Deci intradevar se ajunge printr-o inductie incompleta la faptul cercul cu acelasi perimetru cu oricare alt poligon, este de arie maxima si este desigur normal ca cu cat numarul de laturi creste deosebirea intre cele doua arii va fi mai mica, adica raportul prezentat sa fie din ce in ce mai aproape de 1 , arcul de cerc tinzand si el sa fie egal cu latura poligonului .

Dar sa revin la textul dlui profesor Coja.

Si se contina analiza , cu prezentarea diferitelor formulel posibile-se mai pot imagina si altele, caci in algebra o expresie se poate scrie in „n” feluri identice intre ele si pe asta se bazeaza calculul algebric si artificiile acestuia.

1. Formula clasică: π R²
Şi formulele derivate
2. K D²
3. D² – (D² x N) =
4. D² : 4,651 x 3,651
Dl Coja considera cea mai raţională , formula de calcul D² – (D² N), care urmează demersul cognitiv sugerat anterior calculand mai întâi ce este uşor de calculat – suprafaţa pătratului circumscris(D²), din care scădem ceea ce un pătrat are în plus faţă de cercul pereche, faţă de cercul înscris în acel pătrat.
Aşadar, se propune rescrierea, sub forma unor variante, a formulei clasice.si se sustine o organicitate superioara a acestor variante..
Cum putem accepta ca toate fiind identice, formula 3 sau 4 sunt mai organice decat formula 1 sau 2?
Ce facem atunci cu principiul simplitatii al lui William Occam numit si „briciul” lui Occam?

Si in fine urmeaza sustinerea principiala cea mai importanta care se prezinta in aceasta lucrare. Aceasta este ca nu raza trebuie sa apara in formulele legate de aria sau circumferinta cercului ci diametrul.
Daca in negura istoriei omenirii asa cum am explicat la inceput circumferinta era corelata cu diametrul, odata cu aproximatiile mai exacte ale lui π a aparut necesitatea sa se utilizeze definitia cercului ca fiind multimea punctelor egal departate de centru distanta constanta numindu-se raza.
Nu voi mai relua argumentele dlui profesor care sunt in lucrarea dlui ci doar reiau concluzia lor si apoi argumentele mele in favoarea razei si cum tertium non datur….
Asadar concluzia esentiala a dlui profesor Coja este ca raza cercului nu are ce cauta in calculul ariei cercului , adica formula π R², adica aceasta formul ar fi fortata nu ar decurge organic din rationamentul geometric

Sa vedem totusi cum de a aparut raza(ce cauta raza) in locul diametrului (desi algebric este acelasi lucru) in formula ariei.
Am vazut ca in calculul circumferintei istoriceste a aparut mai intai corelatia cu diametrul si ulterior cu R(π D si echivalentul 2 π R).
De ce a aparut raza?
Pai incercarea de a rezolva problema celebra a cvadraturii cercului a impus incercarea de a gasi o expresie eventual rationala(raportul a doua numere prime intre ele) sau macar irationala de tipul radicalilor pe care teorema lui Pitagora ii introdusese in aritmetica si geometrie.
Metoda de calcul cea mai eficienta de a-l calcula pe π, adica cea introdusa de Arhimede, era aproximarea circumferintei cu un poligon regulat inscris sau circumscris cercului, aproximatia cea mai slaba fiind obtinuta de triunghiul echilateral sau de patrat, π fiind un numar aflat intre aproximarea in exces facuta cu ajutorul poligonului circumscris si cea prin lipsa facuta cu ajutorul poligonului inscris.
Intuitia ne spune ca la limita(grecii nu introdusesera in matematica lor acest concept) adica atunci cand numarul de laturi tinde la infinit, lungimea laturilor devine din ce in ce mai mica, tinzand la elementul infinitezimal de arc de cerc, si deci cele doua poligoane se pot apropia oricat de mult de cerc astfel incat raportul intre perimetrul lor calculabil ca numar de laturi x lungimea laturii si diametru este valoarea constantei π.
Asa a determinat Arhimede numarul π cu precizia aratata la inceputul acestui text.
Dar daca Arhimede a calculat perimetrul ca suma laturilor poligonului , aceste laturi erau si laturi ale triunghiurilor isoscele cu varful in centrul cercului, celelalte doua laturi fiind raze ale cercului. Este evident pentru oricine stie cat de cat geometrie ca aceste coarde la poligoanul inscris sau segmente egale de tangente exterioare la cel circumscis, se calculeaza in functie de laturile egale ale triunghiului isoscel adica de raza.
In cazul in care poligonul are un numar par de laturi si diviziunea cu doi a triunghiului echilateral si apoi a hexagonului samd duce la un numar par de laturi, apare in factor comun marimea 2xR si un factor numeric care este tocmai numarul π. Desigur ca in loc de 2xR se poate scrie D si atunci se pstreaza relatia arhaica.
Daca este vorba de suprafata atunci suprafata cercului este cat dorim de bine aproximata de triunghiurile isoscele cu varful in centru.
Ori suprafata unui triunghi este o latura inmultita cu inaltimea impartit la 2.Daca latura se determina in functie de R si inaltimea se determina tot in functie de R de unde aria , adica produsul lor impartit la doi se exprima ca o constanta determinata prin calculele geometrice inmultita cu raza la patrat si desigur ca raza la patrat apare ca factor comun, astfel ca la insumarea tuturor triunghiurilor vom avea:
Spoligon = N x K x R² unde N este numarul de triunghiuri si K o constanta rezultata din calculul geometric.
Cum a demonstrat Arhimede ca N x K = π?
Foarte simplu si probabil ca astfel:

Aria cercului este suma a N triunghiuri cu baza coarda(la limita chiar arcul) de cerc si cu inaltimea la limita tinzand la raza. Atunci raza pe 2, iese in factor comun pe langa suma laturilor(arcelor de cerc) infinitezmale care insa toate la un loc dau obligatoriu circumferinta .
Deci Acerc= ½ x Circumferinta x R adica fie π D x R/2 = π D²/4

fie 2 π RxR/2= π R²

Cred ca acum este clar de ce formula organica este π R² ceea ce nu inseamna ca nu se poate folosi la fel de bine si cea functie de diametru: π D²/4

Mai spune dl profesor Coja: Raportarea cercului la pătrat este cerută de faptul elementar că suprafaţa unei figuri geometrice, cel puţin până în momentul de faţă, se măsoară în pătrate. În forma cea mai simplă, raportarea cercului la pătrat dă naştere la două figuri geometrice, ca variante posibile .
Eu spun: Unitatea de masura pentru arii este unitatea de lungime la patrat, adica o arie in final este data de nu numar care reprezinta de cate ori se cuprinde unittea de arie adica unitatea de lungime la patrat in aria in discutie subliniind insa ca ariile se calculeaza cu relatiile algebrice la care ne conduce geometria, trigonometria sau geometria analitica si nu cu compararea efectiva a ariei calculate cu unitatea de arie folosita.

S acum urmeaza cea mai grava afirmatie a eseului geometric al dlui profesor Coja:

„Tot compasului (şi formulei π R² pe care a generat-o compasul) îi datorăm şi o definiţie a cercului despre care ne îngăduim să bănuim că a adus niscai prejudicii geometriei: „locul geometric al punctelor egal depărtate de un punct considerat centru”. O asemenea definiţie o considerăm lipsită de organicitate: natura „face” cercuri, dar le face (1)fără compas şi (2)din cu totul alte considerente decât cele care au dat naştere definiţiei de mai sus a cercului. Mai presus de orice definiţie, cercul este recunoscut (sic!) de natură, de firea lucrurilor, ca fiind modul (sau forma) în care, cu ajutorul unei linii, al unui perimetru, putem cuprinde suprafaţa cea mai mare.”

Aici gasim o grava eroare si o superbitate filozofico -matematica.

Sa incep cu superbitatea filozofica: Mai presus de orice definiţie, cercul este recunoscut (sic!) de natură, de firea lucrurilor, ca fiind modul (sau forma) în care, cu ajutorul unei linii, al unui perimetru, putem cuprinde suprafaţa cea mai mare.
Asa este dle profesor dreapta care este linia cea mai scurta se transforma in plan in cerc cu suprafata cea mai mare si in spatiu revenind intro negare a negatiei la volumul minim. Este cu adevarat minunat.

Si acum eroarea stiintifica geometrica: Chiar daca natura face cercuri cercul in natura fiind la nivelul sintezei noi fara analiza nu am putea spune nimic nici macar superbitatea de mai sus.

Pai domnule profesor Coja daca nu am sti ca orice punct de pe circumferinta cercului sau sferei este egal departat de acel ombilico del mondo pe care grecii il considerau a fi Delphi iar eu acum il consider a fi punctul geometric centru al cercului, cum mai se puteau face demonstratiile necesare calculului lui π pe care dumneavoastra il luati ca atare(3,14) Daca cercul nu mai are aceasta proprietate, nici circumferinta sau aria lui nu ar mai fi cele care sunt caci ca la orice figura geometrica proprietatile ei metrice se deduc din definitie.
Din pacate din definitie nu rezulta cu evidenta ca raportul dintre circumferinta si diametru(sau raza) este constant, adica are o aceiasi valoare oricare ar fi cercul.
La alte figuri geometrice astfel de proprietati se deduc imediat din definitie de exemplu raportul intre perimetrul patratului si latura, ca fiind patru sau intre arie si latura ca fiind chiar latura .
Demonstratia in cazul cercului eu nu am gasit-o dar se poate face printrun soi de inductie matematica folosind formula care da perimetrul si aria unui poligon regulat cu N laturi inscris intrun cerc de raza R :

P= 2 N R sin (180/N)= N sin(180/N) D
A=(1/2) N R² sin 360/N

Reformulez convenabil fomula ariei : A= N R² sin (180/N) cos(180/n)

Ce se constata ?
Perimetrul si aria depind de R prin niste coeficienti de proportionalitate scalari adica independenti de marimile geometrice ci doar de N numarul laturilor poligonului .
Putem spune astfel ca oricare ar fi numarul N de laturi ale unui poligon regulat, raportul dintre perimetrul lui si diametrul cercului circumscris este un numar constant pentru un anume numar de laturi adica:

P=KpxD si A=KaxR²

Cu alte cuvinte la limita si in cazul cercului rapoartele reespective vor fi tot constante si am aratat mai sus ca daca la perimetrul cercului avem π si la arie avem tot π.

Daca se calculeaza aceste constante pentru poligoanele regulate marind numarul de laturi constatam ca de la triunghiul lateral unde constantele sunt de 2,6 respectiv 1,3 la dodecagon ajung sa fie de 3,11 si 3,00. Cu alte cuvinte valorile lor tind sa se apropie de 3,14 , fiecare din ele crescand si ecartul dintre ele scazand odata cu cresterea numarului de laturi.

Daca se procedeaza prin inductie putem constata ca cu cat N creste cu atat valorile constantelor cresc mai incet. Deasemeni cum formula pentru poligoane cu N laturi ne spune ca oricat ar fi de mare N relatia perimetru diametru este o constanta nu avem nici un motiv sa nu consideram ca regula se mentine si pentru cerc.
Am verificat astfel printro cercetare pur geometrica conjectura lui Arhimede, cum ca ariile cercurilor sunt in raportul razelor lor si adaug ca si afirmatia ca raportul circonferintelor este in raportul diametrelor este o conjectura similara, ba chiar ca cea a lui Arhimede rezulta din prima care ar putea fi privita astfel ca un postulat geometric nefiind demonstrabila decat prin teoria limitelor si a infinitilor mici

Adica s-ar putea spune ca figura geometrica plana formata in mod continuu din puncte egal departate de un punct oarecare numit centru are un raport constant intre circumferinta si raza sau diametru.

Cred ca tot ce am prezentat in replica si mai ales in finalul unde indraznesc sa cred ca am prezentat niste consideratii originale il vor fi convins pe dl profesor Coja, caci eu de dragul Dsale m-am ostenit , ca geometria cercului este pe baze nu numai corecte dar si organice si ca R este elementul esential, organic intru ratiune, al cercului, din care decurg toate celelalte.

PS. In final as dori sa arat ca nu sunt insensibil la aspecte legate de felul celor pe care dl profesor Coja le-a considerat foarte frumos de a tine de „firescul” de „organicitatea” geometriei, ba din contra, si pentru asta prezint o contributie personala la axiomatica lui Euclid, care va arata existenta unui element cu o organicitate mai slaba asa cum il introduce Euclid si pentru care propun un altul mai firesc si mai normal a fi introdus la nivelul fundamentelor geometriei plane euclidiene.
Respectiv, eu sustin ca in loc de axioma unicitatii paralelei care are drept consecinta teorema unicitatii perpendicularei, problema sa se puna invers, respectiv sa vorbim despre axioma unicitatii perpendicularei dusa pe o dreapta dintrun punct exterior acesteia si de teorema unicitatii paralelei dusa printrun punct exterior fata de o dreapta.

De ce sustin ca aceasta este abordarea organica?

Din motive de precizie, de claritate si chiar de estetica matematica.
Foarte pe scurt.
Este mai riguros si mai precis sa vorbesti de perpendiculara coborata dintrun punct pe o dreapta, figura geometrica care se limiteaza la foaia de hartie sau la tabla de scoala, decat de paralela care trebuie prelungita macar mintal pana la infinit pentru a vedea ca nu se intersecteaza cu dreapta de care vorbim.
Este mai riguros si mai clar sa vorbesti de perpendiculara care determina de o parte a dreptei pe care o imtersecteaza doua unghiuri egale numite unghiuri drepte decat de o dreapta care nu se intalneste niciodata cu o alta dreapta , ceea ce ca si notiunea de infinit este o notiune mult mai vaga decat perpendicularitatea.
Daca ati citit toate acestea va multumesc pentru atentie.

Ion Sebastian